Moyenne : \[\mu\]
Variance : \[\sigma^2\]
Densité : \[f(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2} \frac{(t-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\]
Fonction caractéristique : \[\phi (t)={\rm {e}}^{\mu {\rm {i}}t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}\]
Propriétés : \[X_1 + X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2,\sigma_1^2 + \sigma_2^2) \Leftrightarrow {\begin{cases}X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2) \\ X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2) \\ X \perp \!\!\! \perp Y \end{cases}}\]
library(ggplot2)
# Paramètres
mu <- 0
sigma2 <- 1
# Générer des données
x <- seq(mu - 3, mu + 3, length.out = 100)
f_x <- dnorm(x, mean = mu, sd = sigma2)
data <- data.frame(x = x, density = f_x)
# Tracer la courbe avec ggplot2
ggplot(data, aes(x = x, y = density)) +
geom_line(color = "darkcyan", linewidth = 1.5) +
scale_x_continuous(name = "x", limits = c(-3, 3)) +
scale_y_continuous(name = "f(x)") +
labs(title = "Densité de la loi Normale(0, 1)")
library(ggplot2)
# Paramètres
a <- 0
b <- 1
# Générer des données
x <- seq(mu - 3, mu + 3, length.out = 100)
F_x <- pnorm(x, mean = mu, sd = sigma2)
data <- data.frame(x = x, cdf = F_x)
# Tracer la courbe avec ggplot2
ggplot(data, aes(x = x, y = cdf)) +
geom_line(color = "darkcyan", linewidth = 1.5) +
scale_x_continuous(name = "x", limits = c(-3, 3)) +
scale_y_continuous(name = "F(x)") +
labs(title = "Fonction de répartition de la loi Normale(0, 1)")
Générer un échantillon de n valeurs suivant la loi \(\mathcal{N}[0,1]\)
n <- 5
ech <- rnorm(n, 0, 1)
data.frame(ech)Loi uniforme continue sur le segment [a,b].
Espérance : \[\mathbb{E}( \mathcal{U}[a,b]) = \frac{a+b}{2}\]
Variance : \[\mathbb{V}( \mathcal{U}[a,b]) = \frac{(b-a)^2}{12}\]
Densité : \[f(x)=\frac{1}{b-a} \mathbb{1}_{a \leq x \leq b}(x)\]
Fonction de répartition : \[F(x)={\begin{cases}0&{\text{pour }}x<a\\{\dfrac {x-a}{b-a}}&{\text{pour }}a\leq x<b\\1&{\text{pour }}x\geq b\end{cases}}\]
Fonction caractéristique : \[\phi(t) = \frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}tb}-{\rm {e}}^{{\rm {i}}ta}}{{\rm {i}}t(b-a)}\]
Code R
library(ggplot2)
# Paramètres
a <- 0
b <- 1
# Générer des données
x <- seq(a - 0.1, b + 0.1, length.out = 100)
f_x <- dunif(x, min = a, max = b)
data <- data.frame(x = x, density = f_x)
# Tracer la courbe avec ggplot2
ggplot(data, aes(x = x, y = density)) +
geom_line(color = "darkcyan", linewidth = 1.5) +
scale_x_continuous(name = "x", breaks = seq(0, 1, by = 0.2), limits = c(-0.1, 1.1)) +
scale_y_continuous(name = "f(x)") +
labs(title = "Densité de la loi Uniforme")
library(ggplot2)
# Paramètres
a <- 0
b <- 1
# Générer des données
x <- seq(a - 0.1, b + 0.1, length.out = 100)
F_x <- punif(x, min = a, max = b)
data <- data.frame(x = x, cdf = F_x)
# Tracer la courbe avec ggplot2
ggplot(data, aes(x = x, y = cdf)) +
geom_line(color = "darkcyan", linewidth = 1.5) +
scale_x_continuous(name = "x", breaks = seq(0, 1, by = 0.2), limits = c(-0.1, 1.1)) +
scale_y_continuous(name = "F(x)") +
labs(title = "Fonction de répartition de la loi Uniforme")
Générer un échantillon de n valeurs suivant la loi \(\mathcal{U}[a,b]\)
n <- 5
ech <- runif(n, min = 0, max = 1)
data.frame(ech)Loi du chi 2 à k degrés de liberté
\[\chi^2(k) \sim \sum_{i=1}^{k} X_{i}^{2} \ avec \ X_i \ \sim \mathcal{N}(0,1) \ iid\]
Espérance : \[\mathbb{E}(\chi^2(k)) = n\]
Variance : \[\mathbb{V}(\chi^2(k)) = 2n\]
Densité : \[\frac{(1/2)^{{k/2}}}{\Gamma (k/2)} x^{{k/2-1}} e^{{-x/2}}\]
Fonction caractéristique : \[\phi(t) = (1-2\,i\,t)^{{-k/2}}\]
Code R
library(ggplot2)
# Paramètres
df_values <- c(1, 2, 3, 5, 10, 20)
# Genérer des données
data <- lapply(df_values, function(df) {
x <- seq(0, 30, length.out = 200)
f_x <- dchisq(x, df = df)
data.frame(x = x, density = f_x, df = as.factor(df))
})
data <- do.call(rbind, data)
# Tracer la courbe avec ggplot2
ggplot(data, aes(x = x, y = density, color = df)) +
geom_line(linewidth = 1) +
scale_x_continuous(name = "x", limits = c(0, 30)) +
scale_y_continuous(name = "f(x)") +
labs(title = "Densité de la loi du Chi2 selon différents degrés de liberté") +
scale_color_discrete(name = "df")
Générer un échantillon de n valeurs suivant la loi \(\chi^2(df)\)
n <- 5
df <- 3
ech <- rchisq(n, df)
data.frame(ech)Loi de Student à n degrés de liberté.
\[\mathcal{T}(n) \sim \frac{\mathcal{N}(0,1)}{\sqrt{\chi^2(n)/n}}\]
Espérance : \[\mathbb{E}(\mathcal{T}(n)) = 0 \ si \ n > 1\]
Variance : \[\mathbb{V}(\mathcal{T}(n)) = \frac{n}{n-2} \ si \ n > 2 \ (+\infty \ sinon)\]
La loi de Student converge en loi vers la loi Normale \[\mathcal{T}(n) \underset{n \to +\infty}{\overset{\mathcal{L}} \longrightarrow} \mathcal{N}(0,1)\]
Code R
library(ggplot2)
# Paramètres
df_values <- c(1, 2, 5, 20)
# Générer des données
data <- lapply(df_values, function(df) {
x <- seq(-5, 5, length.out = 200)
f_x <- dt(x, df = df)
data.frame(x = x, density = f_x, df = as.factor(df))
})
data <- do.call(rbind, data)
# Tracer la courbe avec ggplot2
ggplot(data, aes(x = x, y = density, color = df)) +
geom_line(linewidth = 1) +
scale_x_continuous(name = "x", limits = c(-5, 5)) +
scale_y_continuous(name = "f(x)") +
labs(title = "Densité de la loi de Student selon différents degrés de liberté") +
scale_color_discrete(name = "df")
Générer un échantillon de n valeurs suivant la loi \(\mathcal{T}(df)\)
n <- 5
df <- 3
ech <- rt(n, df)
data.frame(ech)Loi de Fisher-Snedecor à n et m degrés de liberté
\(\mathcal{F}(n,m) \sim \frac{\chi^2(n)/n}{\chi^2(m)/m}\)
\(\mathbb{E}(\mathcal{F}(n,m)) = \frac {m}{m-2}\) si \(m > 2\)
\(X \sim \mathcal{F}(a,b) \Rightarrow \frac{1}{X} \sim \mathcal{F}(b,a)\)
Lien avec la loi de Student : \(X\sim \mathcal{T}(n) \Rightarrow X^2 \sim \mathcal{F}(1,n)\)
Lien avec la loi Normale : \(X \sim \mathcal{N}(0,1) \Rightarrow X^2 \sim \mathcal{F}(1,\infty)\)
Loi exponentielle de paramètre Lambda
\(\mathbb{E}(\epsilon(\lambda)) = \frac{1}{\lambda}\)
\(\mathbb{V}(\epsilon(\lambda)) = \frac{1}{\lambda^2}\)
Densité : \(\lambda e^{{-\lambda x}} \mathbb{1}_{x \geq 0}\)
Fonction de répartition : \(1-e^{{-\lambda x}}\)
Fonction caractéristique : \(\left(1-{\dfrac {it}{\lambda }}\right)^{{-1}}\)
Loi Gamma de paramètres alpha et beta
\(X \sim \Gamma( \alpha , \beta)\)
\(\mathbb{E}(\Gamma( \alpha , \beta)) = \frac{\alpha}{\beta}\)
\(\mathbb{V}(\Gamma( \alpha , \beta)) = \frac{\alpha}{\beta^2}\)
Densité : \(f ( x , \alpha, \beta ) = x^{\alpha -1} \frac{\beta ^\alpha e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )} \mathbb{1}_{x > 0}\)
Liens avec d’autres lois :
\(\Gamma(a) = \int _{0}^{+\infty }t^{a-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm dt\)
Prolonge la fonction factorielle à l’ensemble des nombres complexes (sauf entiers négatifs)
\(\Gamma(n+1) = n!\)
\(\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)\)
Loi inverse Gamma de paramètres k et \(\theta\)
\(X \sim {{Inv \ \Gamma}(k,\theta )} \Rightarrow \frac{1}{X} \sim \Gamma ( k , 1 / \theta )\)
Densité : \(f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)\) pour \(x > 0\)
\(\mathbb{E}(Inv \ \Gamma( \alpha , \beta)) = \frac{\beta}{\alpha-1}\) pour \(\alpha > 1\)
\(\mathbb{V}(Inv \ \Gamma( \alpha , \beta)) = \frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}\) pour \(\alpha > 2\)
Loi Beta de paramètres alpha et beta
\(\mathbb{E}(\mathrm{B}) = \frac {\alpha }{\alpha +\beta }\)
\(\mathbb{V}(\mathrm{B}) = \frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}\)
Densité : \(\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}\)
\(\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t\)
\(\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\)
\(\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)\)
\(\mathrm {B} (x,y+1)=\frac{y}{x+y}\mathrm {B} (x,y)\)